数学四层概念地图
学什么 · 怎么理解 · 怎么练
内容结构导航（非练习成绩）
一眼看清六条内容线、核心模型与练题入口的关系。
因为： 先选内容线，再进考法练或训练器；避免在专家层迷路。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 四层地图与 wiki 核心模型数一致，练题仍走矩阵考法。
- 学得会： 先定位在六条内容线的哪一格，再开练。
- 下一步： 主按钮回学习地图或能力中心开练。
更多说明（教师 / 研发）
四层：体系 → 核心模型 → 六步 workflow → 训练器；与 5 个过程训练器不同层级。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
地图帮你「定位」，真正提分靠按考法练 + 报告复盘。
- 第一层：代数/方程/函数/几何/统计/建模六线
- 第二层：核心知识模型（可迁移单元）
- 第三层：六步理解；第四层：过程训练器
核心知识模型（wiki 36项）与 5 个认知过程训练器（MVP）是不同层级，不要混称「认知模型」。专家入口： 训练器 · 错因说明
四层如何配合
内容分层与主学习路径分开：下面先讲概念结构，文末再附「练 → 报告 → 训练器」练习路径（练习代理，非能力认证）。
从内容地图到过程训练器，四层分工不同： 核心知识模型 是「学什么」， 六步理解框架 是「怎么理解」， 认知过程训练器 是「怎么练过程」。
六大知识体系
把初中数学内容组织成代数、方程、函数、几何、统计、建模六条主线。
36 个核心知识模型
wiki 中的核心知识模型：跨题可迁移的单元（如一次函数、分式方程）。每个模型有六步拆解；站点练习通过考法与训练器覆盖，不是 36 个都有独立交互页。
六步理解框架
用对象、结构、触发、操作、易错、反例来理解每个核心知识模型；wiki 中 36 个 workflow（如 wf-二次函数）与核心模型一一对应。
认知过程训练器（MVP）
5 个 MVP 训练器样例，针对触发、操作与易错做专项练；是练习代理，非能力认证。
第一层 · 六大知识体系
内容主地图：每条线再拆核心知识模型与考法练习。
第二层 · 36 个核心知识模型
wiki 跨题可迁移单元；每个模型在 wiki 有 workflow 六步页（knowledge/wiki/workflows/）。
🔢 代数基础 (8 项) 进入体系 →
- 有理数运算 有理数运算 为什么错 · 易错：`-a^n` 与 `(-a)^n` 混淆。 对象结构 等价变换训练器
- 整式运算 整式运算 为什么错 · 易错：负号分配不全。 对象结构 等价变换训练器
- 因式分解 因式分解 为什么错 · 易错：完全平方符号写反。 对象结构 等价变换训练器
- 幂的运算 幂的运算 为什么错 · 易错：步骤跳步或符号错误。 对象结构 等价变换训练器
- 科学记数法 科学记数法 为什么错 · 易错：首数超范围；指数少 1。 对象结构 等价变换训练器
- 无理数估算 无理数估算 为什么错 · 易错：平方数选错；区间端点颠倒。 对象结构 等价变换训练器
- 分式运算 分式运算 为什么错 · 易错：约去非公因式；通分时分母乘错。 对象结构 等价变换训练器 部分覆盖
- 二次根式 二次根式 为什么错 · 易错：\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)。 对象结构 等价变换训练器 为什么错 · 相关错因： 化简根式时忽略被开方数 \(\ge 0\) 的定义域约束（约束试点）。 部分覆盖
⚖️ 方程系统 (6 项) 进入体系 →
- 等式的基本性质 等式的基本性质 为什么错 · 易错：非法约去未知数因子。 对象结构 等价变换训练器
- 一元一次方程 一元一次方程 为什么错 · 易错：分母漏乘；移项不变号。 标准流程 等价变换训练器 为什么错 · 相关错因： 一元一次方程移项时未变号，或把常数项移到等号另一侧时符号处理错误（方程域试点）。
- 二元一次方程组 二元一次方程组 为什么错 · 易错：解不完整；符号错。 标准流程 等价变换训练器
- 一元二次方程 一元二次方程 为什么错 · 易错：漏负根；韦达符号错。 对象结构 等价变换训练器
- 分式方程 分式方程 为什么错 · 易错：不验根；漏乘。 标准流程 等价变换训练器 为什么错 · 相关错因： 分式方程去分母后未检验增根即写入解集（方程域试点）。
- 不等式组 不等式组 为什么错 · 易错：步骤跳步或符号错误。 对象结构 等价变换训练器 为什么错 · 相关错因： 含参数或绝对值结构时未分类讨论，直接代入单一情形（分类讨论试点）。 · 不等式两边同乘负数时未改变不等号方向（变换试点）。
📈 函数系统 (10 项) 进入体系 →
- 平面直角坐标系 平面直角坐标系 为什么错 · 易错：横纵坐标顺序。 对象结构 输入输出映射训练器
- 函数的概念 函数的概念 为什么错 · 易错：把公式当成函数的全部。 对象结构 输入输出映射训练器 为什么错 · 相关错因： 将定义域与值域混淆，或用 \(y\) 的取值范围代替 \(x\) 的允许范围（函数域试点）。
- 正比例函数 正比例函数 为什么错 · 易错：`k = 0` 排除。 对象结构 输入输出映射训练器
- 一次函数 一次函数 为什么错 · 易错：把 `b` 的正负当成增减性的依据。 对象结构 输入输出映射训练器 为什么错 · 相关错因： 将一次函数斜率 \(k\) 的符号与截距 \(b\) 的符号混用于判断单调性（函数域试点）。
- 一次函数与方程不等式 一次函数与方程不等式 为什么错 · 易错：忽略 `k` 符号导致不等式方向写反。 对象结构 输入输出映射训练器
- 反比例函数 反比例函数 为什么错 · 易错：跨象限比较时直接按 `x` 大小排序。 对象结构 输入输出映射训练器 为什么错 · 相关错因： 反比例函数 \(k\) 符号与象限分布判断错误，或将 \(k>0\) / \(k<0\) 与图像所在象限对应关系记反（函数域试点）。
- 二次函数 二次函数 为什么错 · 易错：对称轴公式符号错误。 对象结构 输入输出映射训练器 为什么错 · 相关错因： 二次函数参数 \(a\) 符号与开口方向结论不一致，或未按题设点代入建立参数关系（函数域试点）。 · 二次函数对称轴公式 \(x=-b/(2a)\) 中符号写反或漏除 \(2a\)（函数域试点）。
- 二次函数顶点式 二次函数顶点式 为什么错 · 易错：`x + 2` 对应 `h = -2`。 对象结构 输入输出映射训练器
- 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 为什么错 · 易错：相切时误说“一个根”。 对象结构 输入输出映射训练器 为什么错 · 相关错因： 判断抛物线与 \(x\) 轴交点时忽略判别式 \(\Delta\) 或交点个数前提（约束试点）。
- 二次函数最值问题 二次函数最值问题 为什么错 · 易错：顶点在区间外仍用顶点值。 跨题策略 输入输出映射训练器
📐 几何体系 (7 项) 进入体系 →
- 平行线 平行线 为什么错 · 易错：方向反了。 对象结构 几何证明训练器 为什么错 · 相关错因： 同位角/内错角/同旁内角判定条件混用（几何域试点）。
- 三角形中位线 三角形中位线 为什么错 · 易错：中线 ≠ 中位线。 对象结构 几何证明训练器
- 等腰三角形 等腰三角形 为什么错 · 易错：腰底混淆。 对象结构 几何证明训练器
- 全等三角形 全等三角形 为什么错 · 易错：对应关系错；AAA 误用。 对象结构 几何证明训练器
- 圆 圆 为什么错 · 易错：步骤跳步或符号错误。 对象结构 几何证明训练器
- 相似三角形 相似三角形 为什么错 · 易错：步骤跳步或符号错误。 对象结构 几何证明训练器 为什么错 · 相关错因： 相似三角形面积比误用边长比，未平方（几何域试点）。
- 特殊角三角函数 特殊角三角函数 为什么错 · 易错：步骤跳步或符号错误。 对象结构 几何证明训练器
📊 统计与概率 (3 项) 进入体系 →
第三层 · 六步理解框架
理解任意核心知识模型的统一结构：先看它是什么，再看什么时候用、怎么用、哪里会错。每个核心模型在 wiki 中对应一个 workflow 标识（共 36 个，如 二次函数 ）。 浏览全部解题步骤 →
这是什么知识？它处理什么数学对象？
内部组成、变量关系和关键条件是什么？
题目出现哪些信号时应该调用它？
标准步骤是什么？每一步为什么合法？
学生常在哪些条件、符号或方向上出错？
什么时候不能用？边界条件是什么？
第四层 · 认知过程训练器（MVP）
5 个工程样例，练触发、操作与易错；多个核心知识模型可映射到同一训练器。过程代理，非课标能力认证（公理 A7）。
输入输出映射训练器
函数系统
覆盖 11 个核心模型
等价变换训练器
方程与代数
覆盖 18 个核心模型
比例缩放训练器
比例与几何
覆盖 1 个核心模型
几何约束训练器
几何体系
覆盖 7 个核心模型
几何证明训练器
几何证明
覆盖 7 个核心模型
| 核心知识模型（wiki） | 过程训练器 | 对齐 |
|---|---|---|
| 代数基础 有理数运算 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 整式运算 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 因式分解 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 幂的运算 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 科学记数法 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 无理数估算 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 代数基础 分式运算 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 代数基础 二次根式 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 方程系统 等式的基本性质 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 方程系统 一元一次方程 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 方程系统 二元一次方程组 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 方程系统 一元二次方程 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 方程系统 分式方程 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 方程系统 不等式组 | 等价变换训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 平面直角坐标系 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 函数的概念 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 正比例函数 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 一次函数 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 一次函数与方程不等式 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 反比例函数 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 二次函数 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 二次函数顶点式 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 二次函数与一元二次方程 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 函数系统 二次函数最值问题 | 输入输出映射训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 平行线 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 三角形中位线 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 等腰三角形 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 全等三角形 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 圆 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 相似三角形 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 几何体系 特殊角三角函数 | 几何证明训练器 | 已对齐 |
| 统计与概率 统计量选择 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 统计与概率 图表信息读取 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 统计与概率 概率基本模型 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 应用建模 等量关系抽取 | 等价变换训练器 | 部分覆盖 |
| 应用建模 函数应用建模 | 输入输出映射训练器 | 部分覆盖 |
主学习路径（与概念分层分开）
练一小段 → 看报告 → 可选进训练器；与上面四层概念地图互补。
索引数据由
scripts/compile_math_architecture.py
从 wiki core-model-kinds.json 生成，与仓库内「核心模型-站点认知模型映射」表对齐。
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。