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三角形
内角和 · 全等基础
七年级下册
先弄清：为什么学这个
先问一句： 剪下的三角形，能完全盖住另一个吗？
情境： 形状、大小一致才能重合——全等是在问「能不能严丝合缝对上」。
人话： 全等是几何证明的地基：对应边、对应角一一匹配，再谈后面的相似与计算。
- 观察：边长、角是否都对应相等
- 猜想：能重合 → 可写全等
- 结论：用判定（SSS/SAS/ASA…）写清依据
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 几何体系 · 三角形 — 看全图 →
本单元：三角形——内角和180°是常用桥梁。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
内角和180°是常用桥梁。
- 属于「几何体系」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
平行→角相等→全等→边相等
直角→勾股→求边长
等边对等角→三线合一
模型6 三角形基础
核心关系链条
三边关系→能否构成三角形
内角和=180°
外角=不相邻两内角之和
六步模型结构
🟢
📌 对象
由三条线段首尾相连围成的图形
🔵
🔧 结构
三边关系：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；内角和=180°；外角=不相邻两内角之和
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⚡ 触发条件
出现"三角形""三边""内角/外角""多边形"
🟣
⚙️ 操作
判断能否构成三角形；求角度；分类（按边/按角）
🔴
⚠️ 易错点
"两边之和>第三边"只需验证最短两边之和>最长边；外角定理中"不相邻"不能丢
⚪
🔄 反例
三条线段不一定能围成三角形（如1,2,5）；外角≠相邻内角+180°
前置依赖
模型1
模型2
模型7 全等三角形
核心关系链条
平行→角相等→全等→边相等
全等的本质是制造相等关系
六步模型结构
🟢
📌 对象
形状和大小完全相同的两个三角形
🔵
🔧 结构
判定：SSS / SAS / ASA / AAS / HL（直角三角形专用）；性质：对应边相等、对应角相等
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⚡ 触发条件
要证明"线段相等"或"角相等"；出现两个三角形+边/角信息
🟣
⚙️ 操作
①找两个三角形 ②找3个条件（公共边、已知相等、平行推角等、垂直推直角、中点推边相等） ③匹配SSS/SAS/ASA/AAS/HL ④写全等→推结论
🔴
⚠️ 易错点
对应顶点顺序写错；SAS必须是"夹角"不是任意角；条件不够就强行全等；看图"觉得"相等≠已知相等
⚪
🔄 反例
AAA不能判全等（只能判相似）；SSA不能判全等（解不唯一）；只有两条边不够
前置依赖
模型2
模型3
模型4
模型6
模型8 角平分线的性质
核心关系链条
角平分线→等角→等距离
距离相等→在角平分线上
六步模型结构
🟢
📌 对象
把角分成两个相等角的射线
🔵
🔧 结构
性质：角平分线上的点到角两边距离相等；逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上
🟡
⚡ 触发条件
出现"角平分线""到两边距离"
🟣
⚙️ 操作
角平分线→推线段相等；或由距离相等→推点在角平分线上
🔴
⚠️ 易错点
"到角两边的距离"必须垂直，不是任意线段；性质和逆定理方向不同
⚪
🔄 反例
角平分线上点到角两边任意连线的长度不一定相等（必须垂直距离）
前置依赖
模型2
模型3
模型7
模型9 轴对称与垂直平分线
核心关系链条
对称→对应点连线被轴垂直平分
将军饮马→用对称化直
六步模型结构
🟢
📌 对象
图形关于某条直线对称的关系
🔵
🔧 结构
垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上
🟡
⚡ 触发条件
出现"对称""翻折""垂直平分线""中垂线""最短路径"
🟣
⚙️ 操作
作轴对称图形；求关于坐标轴对称的点的坐标；将军饮马问题（用对称转化最短路径）
🔴
⚠️ 易错点
轴对称图形vs两个图形成轴对称（一个是自身性质，一个是两个图形的关系）；垂直平分线必须同时满足"垂直"和"过中点"
⚪
🔄 反例
对称轴上的点不是"对称点"（它在自身上重合）
前置依赖
模型2
模型3
模型10 等腰三角形
核心关系链条
等边对等角
等角对等边
三线合一→简化证明
六步模型结构
🟢
📌 对象
至少有两边相等的三角形
🔵
🔧 结构
性质：等边对等角；三线合一（底边上的高、中线、角平分线重合）；判定：等角对等边
🟡
⚡ 触发条件
出现"等腰""两边相等""两角相等""三线合一"
🟣
⚙️ 操作
等边→推等角；等角→推等边；利用三线合一简化证明
🔴
⚠️ 易错点
"等边对等角"和"等角对等边"方向不同（一个是性质，一个是判定）；三线合一只对底边成立
⚪
🔄 反例
等腰三角形的底和腰搞反；不是所有三角形都有三线合一（只有等腰才有）
前置依赖
模型6
模型9
模型11 勾股定理
核心关系链条
直角→勾股→求边长
斜边一定是最长边
六步模型结构
🟢
📌 对象
直角三角形边长关系
🔵
🔧 结构
a² + b² = c²（直角边a、b，斜边c）；逆定理：a² + b² = c² → 直角三角形
🟡
⚡ 触发条件
出现"直角""距离""直角三角形""验证是否为直角三角形"
🟣
⚙️ 操作
已知两边求第三边；判断三角形是否为直角三角形；在数轴上作无理数点
🔴
⚠️ 易错点
斜边判断错误（斜边一定是最长边）；逆定理验证时c必须取最长边
⚪
🔄 反例
非直角三角形不能用勾股定理（必须先确认直角）
前置依赖
模型3
模型6
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。全等与勾股：SSS/SAS/ASA/AAS 判定对应边与角；直角三角形先想 a²+b²=c²，再考虑面积与中线等延伸模型。
📊 本章学习路径
6 三角形基础 ← 模型 1, 2
7 全等三角形 ← 模型 2, 3, 4, 6
8 角平分线的性质 ← 模型 2, 3, 7
9 轴对称与垂直平分线 ← 模型 2, 3
10 等腰三角形 ← 模型 6, 9
11 勾股定理 ← 模型 3, 6
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。