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相似图形
比例 · 相似三角形
八年级上册
先弄清：为什么学这个
先问一句： 地图缩小打印，形状一样但长度变了——还算「同一个图」吗？
情境： 相似比的是「形状同、大小可不同」——比例尺、模型、照片放大都属于这一类。
人话： 相似是在全等之后：对应角相等、对应边成比例，才能用比例解题。
- 观察：对应角是否相等
- 猜想：边长按同一倍数变化
- 结论：相似三角形用比例列方程
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 几何体系 · 相似图形 — 看全图 →
本单元：相似图形——对应边成比例，别混全等。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
对应边成比例，别混全等。
- 属于「几何体系」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
AA/SSS/SAS→相似三角形
直角三角形→sin/cos/tan→边
长对正、高平齐、宽相等→三视图
模型16 旋转与中心对称
核心关系链条
旋转三要素：中心、方向、角度
中心对称=旋转180°
六步模型结构
🟢
📌 对象
图形绕某点旋转一定角度的变换
🔵
🔧 结构
旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；性质：对应点到中心距离相等、对应点连线夹角=旋转角、旋转前后图形全等
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⚡ 触发条件
出现"旋转""中心对称""绕某点""旋转角"
🟣
⚙️ 操作
找旋转中心和旋转角；作旋转图形；判断中心对称图形
🔴
⚠️ 易错点
旋转中心不一定在图形上；中心对称=旋转180°的特殊情况
⚪
🔄 反例
轴对称图形不一定是中心对称图形（如等腰三角形）
前置依赖
模型5
模型7
模型20 相似三角形
核心关系链条
AA/SSS/SAS→相似
相似比→边成比例
面积比=相似比²
六步模型结构
🟢
📌 对象
形状相同、大小成比例的两个三角形
🔵
🔧 结构
判定：AA（两角相等）/ SSS相似（三边成比例）/ SAS相似（两边成比例+夹角相等）；性质：对应边成比例，对应高/中线/角平分线之比=相似比，面积比=相似比²
🟡
⚡ 触发条件
出现"比例""相似""放大/缩小""平行线截三角形"
🟣
⚙️ 操作
判相似→写比例→解未知量；或用相似解决测量问题（测高、测距）
🔴
⚠️ 易错点
比例顺序写反（必须对应边）；面积比=相似比的平方（不是一次方）；相似比有方向（A:B≠B:A的数值）
⚪
🔄 反例
只有"看起来像"不够（必须严格判定）；AAA不能判全等但能判相似（注意区分）
前置依赖
模型4
模型6
模型7
模型21 位似
核心关系链条
位似中心→对应点连线交于此点
坐标乘k→位似变换
六步模型结构
🟢
📌 对象
以某点为中心的相似放大/缩小
🔵
🔧 结构
位似图形对应点连线交于位似中心；对应点到位似中心的距离比=相似比
🟡
⚡ 触发条件
出现"位似""放大/缩小""坐标系中相似"
🟣
⚙️ 操作
找位似中心；坐标乘k或-k
🔴
⚠️ 易错点
坐标系中位似可能取k或-k（两种方向）；位似中心不一定是原点
⚪
🔄 反例
相似不一定是位似（位似有特殊位置关系）
前置依赖
模型20
模型22 锐角三角函数
核心关系链条
直角三角形→sin/cos/tan
相似比固定→三角函数值固定
六步模型结构
🟢
📌 对象
直角三角形中角与边之比的固定关系
🔵
🔧 结构
sin A = 对边/斜边，cos A = 邻边/斜边，tan A = 对边/邻边；特殊角值：30°/45°/60°
🟡
⚡ 触发条件
出现"仰角/俯角""方向角""坡度""解直角三角形"
🟣
⚙️ 操作
已知角求比值→代数计算；已知比值求角→查表/计算器；解直角三角形（已知2元素至少1边求其余）
🔴
⚠️ 易错点
sin/cos/tan的对象是"角"不是"边"；对边/邻边取决于参考角的选择；坡度=tan α（不是角度本身）
⚪
🔄 反例
三角函数只适用于直角三角形（非直角需先构造直角）；tan 90°不存在
前置依赖
模型3
模型6
模型11
模型20
模型23 投影与视图
核心关系链条
长对正、高平齐、宽相等
三视图唯一确定立体
六步模型结构
🟢
📌 对象
三维物体在二维平面上的投影
🔵
🔧 结构
平行投影（太阳光）、中心投影（点光源）、正投影；三视图：主/俯/左视图（长对正、高平齐、宽相等）
🟡
⚡ 触发条件
出现"投影""视图""三视图""立体模型"
🟣
⚙️ 操作
由立体画三视图；由三视图还原立体；计算表面积/体积
🔴
⚠️ 易错点
三视图的对应关系易搞错（主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等）；虚线表示看不见的棱
⚪
🔄 反例
一个视图不能唯一确定立体形状（如主视图是矩形可能是长方体或圆柱）
前置依赖
模型0
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。相似三角形：AA/SAS/SSS 判定；对应边成比例、对应角相等；面积比等于相似比的平方，与函数/方程应用题可交叉建模。
📊 本章学习路径
16 旋转与中心对称 ← 模型 5, 7
20 相似三角形 ← 模型 4, 6, 7
21 位似 ← 模型 20
22 锐角三角函数 ← 模型 3, 6, 11, 20
23 投影与视图 ← 模型 0
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。