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圆
垂径 · 切线 · 弧长面积
九年级上册
先弄清：为什么学这个
先问一句： 车轮转一圈，走过的路程为什么是直径的 π 倍？
情境： 圆看半径、弦、切线——垂径定理、切线性质、弧长面积都围绕「到圆心等距」。
人话： 圆的几何是在练「距离相等」的语言，后面弧长、扇形、切线证明都靠它。
- 观察：圆上各点到圆心距离相等
- 猜想：弧长与半径、圆心角成比例
- 结论：用半径、垂径、切线写清依据
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 几何体系 · 圆 — 看全图 →
本单元：圆——切线垂直于过切点的半径。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
切线垂直于过切点的半径。
- 属于「几何体系」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对弧
d与r比较→点/线与圆的位置关系
弧长与扇形面积公式
模型17 圆的基本性质
核心关系链条
垂径定理→弦长/半径
同弧圆心角=2×圆周角
六步模型结构
🟢
📌 对象
到定点距离等于定长的点的集合
🔵
🔧 结构
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对弧；弧、弦、圆心角等价关系（同圆/等圆中）；圆周角=同弧圆心角的一半
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⚡ 触发条件
出现"圆""弦""弧""圆心角""圆周角""直径"
🟣
⚙️ 操作
用垂径定理求弦长/半径；圆周角定理进行角度转换
🔴
⚠️ 易错点
垂径定理需要"直径+垂直"两个条件；圆周角定理前提是"同弧或等弧"；直径所对圆周角=90°
⚪
🔄 反例
不是直径的弦不适用垂径定理；不同圆中弧、弦、角不可直接比较
前置依赖
模型2
模型3
模型6
模型18 点与圆、直线与圆的位置关系
核心关系链条
d与r比较→位置关系
切线⊥过切点半径
六步模型结构
🟢
📌 对象
点/直线与圆的相对位置
🔵
🔧 结构
点在圆外/上/内：d>r/=r/<r；直线与圆相离/相切/相交：d>r/=r/<r；切线性质：过切点且垂直于半径；切线长定理
🟡
⚡ 触发条件
出现"相切""切线""切点""内切圆""外接圆"
🟣
⚙️ 操作
比较d与r判定位置关系；作切线；找内心/外心
🔴
⚠️ 易错点
切线垂直于"过切点的半径"（不是任意半径）；内心是角平分线交点，外心是垂直平分线交点
⚪
🔄 反例
d=r不一定相切（需验证切点在圆上）；直线与圆只有一个交点≠相切（可能只有一边的交点）
前置依赖
模型3
模型17
模型19 弧长与扇形面积
核心关系链条
弧长=nπr/180
扇形面积=nπr²/360=lr/2
六步模型结构
🟢
📌 对象
圆上的弧和扇形的度量
🔵
🔧 结构
弧长 l = nπr/180；扇形面积 S = nπr²/360 = lr/2
🟡
⚡ 触发条件
出现"弧长""扇形面积""圆锥侧面"
🟣
⚙️ 操作
代公式计算；注意角度单位是度不是弧度
🔴
⚠️ 易错点
n是圆心角度数不是弧度；扇形面积第二个公式S=lr/2更简便
⚪
🔄 反例
弧长公式不适用于非圆弧
前置依赖
模型17
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。圆心角、圆周角、弧弦关系：同弧所对圆周角等于圆心角一半；切线垂直于过切点的半径，与 geo-tj 圆题页对齐。
📊 本章学习路径
17 圆的基本性质 ← 模型 2, 3, 6
18 点与圆、直线与圆的位置关系 ← 模型 3, 17
19 弧长与扇形面积 ← 模型 17
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。