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根式方程
平方去根号 · 验根
九年级上册
先弄清：为什么学这个
先问一句： √(x+1)=3 两边平方后，为什么还要多验一遍？
情境： 去根号常要两边平方——平方可能「造」出本来不满足的根，解完必须回代。
人话： 根式方程是在练「变形会增根」：去根号、求解、检验三步缺一不可。
- 观察：被开方数在解的范围内是否≥0
- 猜想：平方后可能多出假根
- 结论：解方程 → 回代验根 → 舍增根
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 方程系统 · 根式方程 — 看全图 →
本单元：根式方程——两边平方可能增根，必检验。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
两边平方可能增根，必检验。
- 属于「方程系统」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
定义域→平方去根号→检验增根
平方是等价变形的充分不必要条件
增根满足平方式但不满足原方程
模型0 根式方程的定义
核心关系链条
定义域→平方去根号→检验增根
根式方程的解必须同时满足定义域和原方程
六步模型结构
🟢
📌 对象
根号内含有未知数的方程，如 √x=3、√(x-1)=x-3、√x+√(x+1)=5
🔵
🔧 结构
形如 √f(x)=g(x) 的方程；核心约束：被开方数 f(x)≥0（定义域限制）；解法核心：两边平方去根号，但平方操作可能引入增根
🟡
⚡ 触发条件
出现根号、√符号、根式方程、平方法、平方去根号等关键词
🟣
⚙️ 操作
①确定定义域（根号内表达式≥0）②判断是否可直接平方 ③必要时移项后再平方（避免漏解） ④解所得方程 ⑤代入原方程检验（去增根）
🔴
⚠️ 易错点
忽略定义域：√f(x) 有意义要求 f(x)≥0；平方前不移动根号项就直接平方导致漏解；平方后不检验增根
⚪
🔄 反例
解 √x=-2：定义域要求 x≥0，但右边-2<0，无解 ❌（不能说 x=4 后代入发现不成立就说解为4）；解 √x+1=x-1：两边直接平方得 x+1=(x-1)² → x+1=x²-2x+1 → x²-3x=0 → x=0或3，检验：x=0时左边=1≠-1，x=3时左边=2≠2 ❌（两个都是增根，原方程无解）
前置依赖
模型0
模型1 根式方程的解法
核心关系链条
移项→根号单独留下→两边平方→解整式→检验增根
平方可能产生增根，必须代入原方程验证
六步模型结构
🟢
📌 对象
求解根式方程的具体操作——平方法及其注意事项
🔵
🔧 结构
标准解法：①确定定义域 ②将根号项单独留在等号一侧 ③两边平方 ④解所得方程 ⑤代入原方程检验；若两边都有根号或根号内含未知数，需多次平方
🟡
⚡ 触发条件
解根式方程时；出现两边平方、移项后平方等关键词
🟣
⚙️ 操作
①写定义域（根号内≥0）②移项使根号在一边（如 √f(x)=g(x) 形式）③两边平方 ④解整式方程 ⑤将解代入原方程检验（两边同时满足？）
🔴
⚠️ 易错点
两边都有根号时平方后仍含根号（需再次平方或换方法）；移项时符号处理错误；平方后产生的增根必须剔除
⚪
🔄 反例
解 √(x+1)+√(x-1)=1：两边直接平方得 (x+1)+(x-1)+2√(x²-1)=1 → 2x+2√(x²-1)=1，之后仍含根号需再平方 ❌（复杂且容易出错，方法选择不当）；解 √x=3-√x：平方后 x=9-6√x+x → 6√x=9 → √x=3/2 → x=9/4 检验：左边=3/2≠3 ❌（增根）
前置依赖
模型0
模型2 定义域与增根
核心关系链条
定义域=所有根号条件的交集
增根=满足平方式但不满足原方程
六步模型结构
🟢
📌 对象
根式方程中定义域的确定方法，以及平方引入增根的机制
🔵
🔧 结构
定义域：√f(x) 要求 f(x)≥0；增根机制：平方是等价变形的充分不必要条件——若 a=b 则 a²=b² 成立，但 a²=b² 不一定有 a=b（还有 a=-b 的情况）；因此平方去根号后必须检验
🟡
⚡ 触发条件
讨论根式方程有解无解的条件；检验增根时；判断定义域时
🟣
⚙️ 操作
①对每个根号列定义域条件 ②取交集得到整个方程的定义域 ③解完方程后，先判断是否在定义域内 ④再代入原方程验证等式成立
🔴
⚠️ 易错点
多根号时定义域取交集（不是并集）；增根的定义：解满足平方后的方程但不满足原方程（可能因为平方改变了符号关系）；检验时两边都要代入原方程数值
⚪
🔄 反例
方程 √x·√(x-1)=√(x(x-1)) 有定义域 x≥1（两个根号都需有意义，取交集）；方程 √(x²-4)=√(2x) 的定义域：x²-4≥0 且 2x≥0，即 x≤-2或x≥2 且 x≥0，得 x≥2 ❌（若只写 x≤-2 或 x≥2 就不对，因为 2x≥0 限制了x≤-2 区间无解）
前置依赖
模型0
模型1
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。无理方程两边平方可能产生增根，解后须代回原式检验；与分式方程共用「变形后验根」习惯。
📊 本章学习路径
0 根式方程的定义 ← 模型 0
1 根式方程的解法 ← 模型 0
2 定义域与增根 ← 模型 0, 1
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。