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分式与不等式
去分母 · 验根
八年级上册
先弄清：为什么学这个
先问一句： 解完分式方程，代入原式却发现左边无意义——为什么？
情境： 去分母会把「分母≠0」藏起来——解出 x 后必须回代检验是不是增根。
人话： 分式方程是在练「变形有条件」：每一步都要记得分母不能为零。
- 观察：去分母前分母有哪些取值限制
- 猜想：解出的 x 可能让原分母为 0
- 结论：解方程 → 回代验根 → 舍增根
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 方程系统 · 分式与不等式 — 看全图 →
本单元：分式与不等式——去分母后必须验增根。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
去分母后必须验增根。
- 属于「方程系统」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
去分母→解整式方程→检验增根
乘负数→不等号变向
不等式组的解=各不等式解集的交集
模型0 分式方程
核心关系链条
去分母→解整式方程→检验增根
分式方程是唯一必须检验增根的方程类型
六步模型结构
🟢
📌 对象
分母中含有未知数的方程，如 (x+1)/(x-1)=2、2/(x-1)+3/(x+1)=1
🔵
🔧 结构
核心流程：分式方程 →（去分母）→ 整式方程 → 解整式方程 → 检验增根 → 确认原方程的解；增根 = 去分母时使分母为0的解，虽满足变形后的整式方程但不满足原方程
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⚡ 触发条件
方程中未知数出现在分母位置；出现分式方程、增根、验根等关键词
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⚙️ 操作
①找各分母的最简公分母 ②方程两边同乘最简公分母（去分母）③解得到的整式方程 ④检验：将解代入最简公分母，若最简公分母=0则该解为增根，舍去；若≠0则为原方程的解 ⑤写结论
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⚠️ 易错点
增根忘记检验（这是分式方程独有的致命错误！）；去分母时分子是多项式不加括号；最简公分母找错（漏因子或忽略符号）；题目问增根是什么≠方程的解是什么，增根不是解
⚪
🔄 反例
解 2/(x-2)+1=x/(x-2)：去分母得 2+(x-2)=x → 0=0，说恒成立x为一切实数 ❌（x=2使分母为0是增根，原方程无解）；解 1/(x-1)=2/(x²-1)：去分母得 x+1=2 → x=1，写解为1 ❌（x=1是增根，原方程无解）
前置依赖
模型0
模型1
模型1 不等式的基本性质
核心关系链条
等式性质的唯一区别：乘负数变号
等式是对称世界，不等式是方向敏感世界
六步模型结构
🟢
📌 对象
用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接的数学式子，表示大小关系
🔵
🔧 结构
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变——若 a>b，则 a±c>b±c；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变——若 a>b，c>0，则 ac>bc；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变——若 a>b，c<0，则 ac<bc
🟡
⚡ 触发条件
需要对不等式进行变形时；与等式性质对比学习
🟣
⚙️ 操作
①识别变形是加减还是乘除 ②若是乘除，判断乘数/除数的正负 ③若为负数，必须变号 ④结果验证（代入特殊值检验）
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⚠️ 易错点
乘负数不变号（这是不等式最大的坑！）；两边乘以或除以含字母的式子时不讨论正负；不等式没有移项变号（移项是加减操作，方向不变），但有乘除负数变号
⚪
🔄 反例
由 -2x>6 得 x>-3 ❌（两边除以-2，方向应变，应为 x<-3）；由 x/y>2 得 x>2y ❌（y的正负未知，不能直接乘过去）
前置依赖
模型0
模型2 一元一次不等式
核心关系链条
系数化为1时若系数为负则不等号变向
去分母乘负数也必须变号
六步模型结构
🟢
📌 对象
只含一个未知数、未知数最高次数为1的不等式，标准形：ax+b>0（或<、≥、≤），a≠0
🔵
🔧 结构
解法流程与一元一次方程完全平行：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1；唯一区别：最后一步系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变
🟡
⚡ 触发条件
出现不等式、大于、小于、不超过、至少等关键词
🟣
⚙️ 操作
①去分母（注意乘负数变号）②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1（注意判断系数正负！）⑥在数轴上表示解集
🔴
⚠️ 易错点
去分母乘以负数时忘记变号；系数化为1时才变号但中间步骤也乘了负数导致变号两次混乱；数轴表示时：>和<用空心圆点，≥和≤用实心圆点
⚪
🔄 反例
解 -3x+5>2：移项得 -3x>-3 → x>1 ❌（系数化为1时两边除以-3应变号，应为 x<1）；解 (2x-1)/3≤x+1：去分母乘3得 2x-1≤3x+3 → -x≤4 → x≤-4 ❌（两边除以-1应变号，应为 x≥-4）
前置依赖
模型1
模型3 一元一次不等式组
核心关系链条
不等式组的解=各不等式解集的交集
画数轴是判断解集最可靠的方法
六步模型结构
🟢
📌 对象
由两个或多个一元一次不等式组成的不等式组，要求同时满足所有不等式
🔵
🔧 结构
解集 = 各不等式解集的交集（公共部分）；口诀：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解
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⚡ 触发条件
出现不等式组、同时满足、且、不超过…又至少…、x的范围等
🟣
⚙️ 操作
①分别解每个不等式 ②在数轴上分别表示各解集 ③取公共部分 ④写最终解集
🔴
⚠️ 易错点
解完各个不等式后忘记取交集（误取并集）；大小小大取中间口诀理解偏差——必须画数轴确认；不等式组无解时写出空集
⚪
🔄 反例
不等式组 {x>3; x>5} 的解集为 x>3 ❌（取交集应为 x>5，同大取大）；{x<2; x>5} 的解集为 2<x<5 ❌（大大小小无解，解集为空集）；{x≥1; x≤3} 解集 1<x<3 ❌（含等号应为 1≤x≤3）
前置依赖
模型2
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。分式方程去分母后必须验增根：使原分母为 0 的解要舍去；与 eq-tj 分式题页、增根专题一致。
📊 本章学习路径
0 分式方程 ← 模型 0, 1
1 不等式的基本性质 ← 模型 0
2 一元一次不等式 ← 模型 1
3 一元一次不等式组 ← 模型 2
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。