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反比例函数
y=k/x · 象限
九年级上册
先弄清：为什么学这个
先问一句： 路程固定 60 km，速度越快，用时越少——这是什么关系？
情境： 反比例是「一个变大、另一个按倒数变小」：k 的符号还决定图象落在哪些象限。
人话： 反比例函数描述「乘积恒定」的两量关系，和一次函数的「稳定变化」不同。
- 观察：速度×时间是否恒定
- 猜想：图象是双曲线两支
- 结论：认 k 符号 → 读象限与增减
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 函数系统 · 反比例函数 — 看全图 →
本单元：反比例函数——k 正负决定象限与增减。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
k 正负决定象限与增减。
- 属于「函数系统」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
反比例函数的核心矛盾在跨象限
增减性只在同一支内成立
渐近线：无限接近但永不相交
模型5 反比例函数
核心关系链条
反比例函数的核心矛盾在跨象限
增减性只在同一支内成立
渐近线：无限接近但永不相交
六步模型结构
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📌 对象
形如 y=k/x（k≠0）的函数，图像为双曲线
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🔧 结构
① 图像是双曲线，有两支，分别在两个象限；② k>0时两支在第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；③ k<0时两支在第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大；④ 图像关于原点对称（中心对称图形）；⑤ 图像与坐标轴永不相交（渐近线思想：无限接近但永不到达）；⑥ |k|越大，双曲线离原点越远
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⚡ 触发条件
出现"反比例""y=k/x""xy=k""双曲线""成反比例""渐近"
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⚙️ 操作
① 由一组(x,y)确定k值（k=xy）；② 由k画双曲线示意图；③ 利用图像判断某区间内y随x的变化趋势；④ 反比例函数上任意一点到两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积=|k|（恒等不变量）；⑤ 比较函数值时先判各点y的正负，再在同一象限内用单调性或代入计算
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⚠️ 易错点
① "在每个象限内"是关键限定——k>0时y随x增大而减小只在同一支内成立，跨象限不可直接比较（如x=-1时y=-k，x=1时y=k，从-1到1，y从-k变到k，y增大了，但这是跨越了两个象限）；② 图像不过原点——原点x=0使分母为零，无意义；③ 反比例关系要求乘积k恒定，y=2/(x+1)不是反比例函数；④ 比较不同象限点的y值必须用实际代入，不能用"增减性"推理
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🔄 反例
① 反比例函数y=3/x中，x=-1时y=-3，x=1时y=3，从x=-1到x=1，y增大了❌说"k>0所以y随x增大而减小"（跨象限不能用单调性）；② y=2/(x-1)❌说成反比例函数（自变量是x-1不是x，这是分式函数而非标准反比例函数）；③ 反比例函数y=6/x的图像❌说"过原点"或"与x轴有交点"（渐近线思想：无限接近但永不相交）；④ 点A(-2,-3)在y=6/x上，点B(1,6)也在其上，y_A=-3<y_B=6❌说"因为k>0所以y随x增大而减小，Ax比Bx小所以y_A应大于y_B"（跨象限比较错误）
前置依赖
模型1
模型0
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。反比例函数样板已链接站内题（fun-003、fun-005、t24-008）与外部中考样例（fm-021、fm-022）。
📊 本章学习路径
5 反比例函数 ← 模型 1, 0
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。