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函数应用
建模 · 分段 · 最值
九年级
先弄清：为什么学这个
先问一句： 停车费前 2 小时 10 元，之后每小时 5 元——总费用怎么分段算？
情境： 函数应用是把文字拆成式子：分段计费、最值、行程都先写 y=… 再解。
人话： 函数应用是把建模落到算：认情境、写关系、读图或求最值。
- 观察：情境里哪段规则不同
- 猜想：可写成分段函数或不等式
- 结论：列式 → 求值/最值 → 回代验情境
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
在六大体系地图里，你正在学： 函数系统 · 函数应用 — 看全图 →
本单元：函数应用——文字条件写成 y=… 再解。
因为： 下方六步拆解帮你「学得会」；练题请走按考法或今日包，和矩阵真题同源。
回学习地图 · 今日推荐 →练前信心
- 靠谱： 下方模型卡片是理解结构，分数来自按考法练记录。
- 学得会： 单元页先读结构再练，和报告弱项可对上。
- 下一步： 主按钮回今日推荐；条内可直达按考法练。
更多说明（教师 / 研发）
核心模型卡片与 wiki workflow 在下方；练习代理，非公理能力认证。
练习记录是代理指标，不是成绩或能力认证。
学得会 · 这条线
文字条件写成 y=… 再解。
- 属于「函数系统」主线的一格
- 先读懂结构，再开练对应考法
- 错题回报告看弱项是否更新
🔗 本章核心关系链条
建模→求函数→定定义域→求最值
交点与最值是应用题的两类核心问法
答案须回到实际问题检验合理性
模型12 函数中的最值问题
核心关系链条
建模→求函数→定定义域→求最值→检验合理性
二次函数最值看顶点，但定义域限制时要比较端点
六步模型结构
🟢
📌 对象
利用函数性质求实际问题中的最大值或最小值
🔵
🔧 结构
二次函数最值：a>0时顶点是最低点（有最小值），a<0时顶点是最高点（有最大值）；实际问题需先建模：设自变量→建立函数关系→确定定义域→求最值→验证合理性
🟡
⚡ 触发条件
出现最大值、最小值、最值、利润最大、面积最大、何时取得最大/最小等关键词
🟣
⚙️ 操作
①审题建立函数关系 ②配方找顶点坐标或用公式 ③确定定义域（实际约束） ④若限定区间，判断顶点是否在区间内 ⑤验证答案合理性
🔴
⚠️ 易错点
实际问题定义域不完整（忽略边长>0、件数为正整数等）；顶点不在区间内时最值在端点取到；不先确定定义域就求最值得到虚假最值
⚪
🔄 反例
某商品定价x元，利润y=-2x²+120x，顶点x=30处y=1800，但若实际定义域要求x≥35，则需在端点处验证 ❌；求矩形面积最大，长宽均为正，所以顶点不在定义域端点时要验证端点
前置依赖
模型6
模型7
模型13 函数与方程、不等式综合
核心关系链条
交点=方程的解
图像位置=不等式解集
数形转化是解方程不等式的几何工具
六步模型结构
🟢
📌 对象
函数图像与x轴交点、函数值正负区域与方程、不等式解集的对应关系
🔵
🔧 结构
①y=f(x)与x轴交点横坐标=方程f(x)=0的解 ②y=f(x)在x轴上方的x范围=不等式f(x)>0的解集 ③y=f(x)在x轴下方的x范围=不等式f(x)<0的解集 ④两函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标=方程f(x)=g(x)的解
🟡
⚡ 触发条件
出现函数图像与x轴交点、解不等式、两函数比大小、方程组的解等关键词
🟣
⚙️ 操作
①把方程/不等式转化为对应的函数图像问题 ②画草图或利用已知图像 ③根据图像位置判断解集或交点
🔴
⚠️ 易错点
k>0时一次不等式kx+b>0的解集在交点右侧，k<0时在交点左侧（方向随k符号改变）；跨象限比较函数值必须代入具体数值
⚪
🔄 反例
y=-2x+4与x轴交点为(2,0)，-2x+4>0的解集是x<2写成x>2 ❌（k<0方向反转）；说"二次函数y=x²-4x+3中a>0所以y恒正" ❌（实际Δ=4>0，y可取负值）
前置依赖
模型3
模型8
知识来源
本站展示内容与项目内 Obsidian 知识库 knowledge/wiki 对齐维护。函数应用：行程/利润/面积等实际问题先建模再求交点或最值；与方程应用、建模体系单元交叉练习。
📊 本章学习路径
12 函数中的最值问题 ← 模型 6, 7
13 函数与方程、不等式综合 ← 模型 3, 8
练完要知道的三件事
练完本章后对照报告：为什么错 · 缺什么 · 下一步练什么（练习代理，非诊断结论）
含错因说明 slug（练习代理，非诊断结论）
家长 30 秒说明— 练了什么 / 弱在哪 / 下一步（练习代理）。